Sous groupes compacts de GL(E)
Sous groupes compacts de GL(E)
Théorème 0.1. L’enonce à dEmontrer est un -ev de dimension . Soit un sous groupe compact de . Alors il existe un produit scalaire sur , de forme quadratique tel que .
- Si on suppose fini, la réponse est évidente, il suffit de considérer :
- Construction d’un point fixe pour : Si on suppose que l’on dispose d’un compact convexe non vide
tel que pour un fixé, on ait , on va construire un point fixe pour . En effet,
on prend et un considère la suite :
- Construction d’une norme strictement convexe stable par : On définit :
(1) - Construction d’un point fixe pour : Cette fois ci, on suppose que l’on dispose d’un compact stable par tous les éléments de . Pour , on note . Comme est compact et les fermé, Il suffit donc de montrer que pour toute famille finie , on a . Pour ce faire, on construit , qui vérifie . Reste à montrer que le point fixe de est un point fixe commun des , ce qui provient de la stricte convexité de la norme .
- Une opération linéaire de sur : On note l’espace vectoriel des matrices symétriques, et le cône
convexe des matrices symétriques définies positives. On note la loi symétrisée sur , i.e. définie par
. On peut définir une action de sur par via la formule
, ce qui correspond à la donnée du morphisme :
On vérifie que ceci définit bien une action, ie et . De plus, cette action est linéaire.
- Construction de : On note , qui est compact comme image continue de compact par continue (car polynomiale). Soit alors , compact comme image de par continue car polynomiale, et est inclus dans , par construction (les éléments de sont inversibles). On note l’enveloppe convexe de , qui est à son tour compacte, d’après le théorème de Carathéodory, et incluse dans qui est convexe. On remarque que, comme l’action de est linéaire, comme est stable par l’action de , l’est aussi, ce qui veut dire que est stable par , qui est un sous groupe de . D’après l’étude menée aux paragraphes précédents, on peut donc trouver un élément fixe par tous les éléments de , ce qui signifie i.e. , où est le produit scalaire euclidien défini par .
Référence : [?, p.141]
Utilisation : (***,4) (**,1) (*,0)
Mots clefs : compacité, point fixe, convexité, actions de groupe.
Auteur du document : Gabriel Peyré