Le Théorème de Wedderburn
Table des matières
On considère ici un groupe G noté multiplicativement. Si X est un ensemble quelconque, une action de G dans X est une application , vérifiant :
On dit que le groupe G agit sur X. A une telle action correspond une relation d’équivalence dans X définie par
On note ω(x) la classe d’un élément et on l’appelle l’orbite de x, on a donc . Les classes d’une relation d’équivalence formant une partition de l’ensemble considéré, on peut considérer pour chaque orbite ω un tel que ω = ω(t) ; l’ensemble T de ces t est une transversale. On a donc
cette réunion étant disjointe.
On vérifie facilement que l’ensemble des éléments g laissant invariant est un sous-groupe de G appelé stabilisateur de x.
On peut maintenant énoncer le résultat suivant, connu sous le nom d’équation
aux classes.
Proposition 1 Soit G un groupe fini agissant sur un ensemble fini X et soit T
une transversale. Alors on a l’équation aux classes
(1)
DEMONSTRATION : La première égalité est claire (puisque les orbites forment une
partition). Nous voulons montrer maintenant .
Soit un élément de l’orbite ω(t). L’ensemble des g tels que x = g.t est la
classe à gauche . Elle a même cardinal que . Regroupons tous les
éléments de G qui appliquent t sur un même élément x de ω(t). On partage ainsi G
en ∣ω(t)∣ parties disjointes qui ont toutes pour cardinal . On a donc
. □
On considère maintenant le cas où l’ensemble X est le groupe G et on définit une action de G sur lui-même par
On dit alors que G agit sur lui-même par automorphisme intérieur.
Pour cette action, le stabilisateur de est l’ensemble des éléments qui
commutent avec x : .
Soit T une transversale et P l’ensemble des tels que ω(t) soit réduit
au singleton {t}. Autrement dit P est le centre Z(G) de G, c’est-à-dire
. La formule 1 donne alors immédiatement
La dernière formule de la section précédente va nous aider à démontrer
le
Théorème 2 (Wedderburn) Tout corps fini est commutatif.
DEMONSTRATION : Soit K un corps fini de centre . Il est clair que Z est un sous-corps de K et en tant que tel, K est muni d’une structure de Z-espace vectoriel de dimension finie n. En dénombrant ses bases, on voit tout de suite que où q est le cardinal de Z. Le théorème sera démontré lorsqu’on aura prouvé que n = 1 ; le raisonnement qui suit suppose que n > 1.
Faisons agir le groupe multiplicatif sur lui-même par automorphisme
intérieur. Pour , on note ω(x) son orbite et
son stabilisateur.
On vérifie que est un sous-corps de K contenant Z et
donc pour les même raisons que ci-dessus, il existe un entier d(x) tel que
, c’est-à-dire tel que . De plus, il
existe k tel que et c’est donc que d(x) divise n. Il
vient par l’équation aux classes
Soit le n-ième polynôme cyclotomique définit par
où Δn est l’ensemble des racines n-ième primitives de l’unité. On rappelle que est un polynôme unitaire à coefficients entiers et qu’on a la formule
Puisque d(x) divise n, cette formule entraîne
En particulier pour d(x)n, on voit que divise ω(x).L’équation aux classes nous donne
où T est une transversale ne contenant pas les éléments dont l’orbite est ponctuelle. Cette formule s’écrit aussi
Mais dire que x est dans T implique que d(x)n de sorte que divise chaque terme de la somme et puisqu’il divise aussi ,
| (2) |
Si désigne une racine n-ième primitive de l’unité, un calcul simple donne
où on a noté la fonction d’Euler. Cette dernière inégalité combinée avec 2 fournit la contradiction recherchée. □
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101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications | |
112 - Corps finis. Applications |
Auteur du document : Stéphane Vento