1 - Quelques exemples :
. Le cas simple : les groupes monogènes [donner des exemples de réalisation]
. Le cas abélien : théorème de structure [donner une application au groupe multiplicatif d’un corps fini, puis le théorème de Chevalley]
. Exemple de non commutativité : sous-groupes finis de , groupe symétrique
2 - Transformée de Fourier sur un groupe fini :
. Dual d’un groupe [parler du bidual]
. Relation d’orthogonalité, transformée de Fourier
. Approche via le théorème de structure [expliquer le lien avec la transformée de Fourier multidimensionnelle]
. Transformée de Fourier discrète, convolution
. Et dans le cas non commutatif ? Le cas infini ? Lien avec la transformée discrète, la transformée classique
3 - Représentation linéaire des groupes finis :
. Définitions [représentations somme, irréductible, adjointe]
. Lemme de Schur, relation d’orthogonalité entre les caractères [définir les caractères, le produit scalaire]
. Représentation des groupes classiques [groupe diédrale, groupe du carré]
. Application à l’étude de la simplicité du groupe