Représentation linéaire des groupes finis
Représentation linéaire des groupes finis
Définition 0.1. Représentation linéaire Soit un -espace vectoriel de dimension finie . Une représentation linéaire d’un groupe dans est la donnée d’un morphisme . Ceci correspond à la donnée d’une action de groupe linéaire de sur , en notant . On dit aussi que est un -module.
Exemple 0.2. Voici les exemples fondamentaux de représentations linéaires :
- La représentation triviale, définie par .
- La représentation régulière : on se donne un espace vectoriel de dimension et on considère une base que l’on indice par les éléments de , i.e. . Pour , on définit alors par , ce qui correspond à une permutation des coordonnées.
- La représentation somme : pour deux représentations et respectivement sur et , on définit une
représentation sur par la formule :
- La représentation produit : pour deux représentations et respectivement sur et , on définit une
représentation notée aussi sur (espace des applications linéaires de dans ) par
la formule :
- Une action sur les polynômes : si est un sous-groupe fini de , on définit une action linéaire de sur en notant, pour , le polynôme obtenu par la substitution de par . On note symboliquement .
Définition 0.3. Représentations isomorphes Deux représentations et d’un même groupe respectivement sur et sont dite isomorphes si il existe un isomorphisme tel que , ce qui permet d’identifier les deux représentations.
Définition 0.4. Sous représentations Si une représentation de sur admet un sous espace vectoriel stable par tous les , elle induit une sous représentation sur .
Définition 0.5. Représentations irréductibles Une représentation est dite irréductible si elle n’admet pas de sous représentation stricte.
Proposition 0.1. Représentation unitaire Toute représentation est isomorphe à une représentation unitaire.
Démonstration. On peut supposer muni d’un produit hermitien . Quitte à remplacer ce produit par , on peut supposer ce produit invariant par l’action de . Donc dans une base orthonormale pour , les matrices des sont unitaires. __
Corollaire 0.2. Une représentation sur est réductible si elle peut s’écrire comme somme de deux représentations non triviales.
Démonstration. Quitte à faire un changement de base, on peut supposer la représentation unitaire. Si la représentation n’est pas irréductible, elle admet un sous-espace globalement stable , et en prenant un supplémentaire orthogonal , ce dernier est aussi stable, car les matrices des sont unitaires. __
Remarque. Le corollaire précédent signifie que les matrices des sont diagonales par bloc dans une base bien choisie, ce qui correspond bien à la représentation somme.
Remarque. Cette écriture n’est bien sûr pas unique, mais on va voir qu’elle est unique "à isomorphisme près", au sens que si , le nombre de fois qu’une représentation irréductible est isomorphe à un est fixé.
Définition 0.6. Sous-représentation invariante Soit une représentation sur . On note le sous-espace des vecteurs invariants , i.e. . C’est une sous représentation de .
Définition 0.7. Opérateurs d’entrelacement Dans le cas de la représentation produit sur de deux représentations et respectivement sur et , on note l’espace des invariants. On nomme ses éléments des opérateurs d’entrelacement ou des -morphismes .
Remarque. Dire que est un opérateur d’entrelacement correspond à ce que vérifie , ie fait commuter, pour tout , le diagramme :
Lemme 0.4. Lemme de Schur Soient et deux représentations irréductibles d’un groupe . Soit un opérateur d’entrelacement, ie . Alors :
- Si et ne sont pas isomorphes, .
- Sinon, on peut supposer , , et alors est une homothétie.
Démonstration. Si on suppose que , alors les hypothèses montrent que est stable par tous
les , et donc comme est irréductible, . De même est stable par tous les ,
donc au final, est un isomorphisme et et sont isomorphes.
Dans le deuxième cas, comme on travail sur des -espaces vectoriels, a au moins une valeur propre . En
posant , on voit que , et en appliquant la première partie de la démonstration,
on a . __
Définition 0.8. Opérateur de Reynolds Soit une représentation de sur . On définit l’opérateur par la formule :
Définition 0.9. Application moyennée Dans le cas de la représentation produit sur de deux représentations et respectivement sur et , pour , on node , ce qui correspond à l’application moyennée :
Proposition 0.7. Application aux -morphismes Dans le cas de la représentation produit sur de deux représentations et respectivement sur et , pour , on a :
Définition 0.10. Caractères Soit une représentation d’un groupe sur de dimension . On lui associe son caractère défini par où désigne la trace.
Proposition 0.8. Propriétés des caractères On a les propriétés suivantes :
- .
- : on dit que est une fonction centrale sur .
- Si se désentations et , alors
- Si on note la représentation produit sur de deux représentations et , alors .
Démonstration.
- C’est évident car .
- Vient du fait que l’on peut prendre une matrice unitaire pour et de :
- Vient du fait que .
- Si on note une base de et une base de , la matrice de s’écrit dans la base
:
- Provient du lemme suivant.
Démonstration. On se donne des bases de et de , ainsi que les bases duales et . On peut construire une base de par la formule :
__
Définition 0.11. Produits hermitiens Si et sont deux fonctions de dans , on pose
est un produit hermitien sur l’espace vectoriel des fonctions de dans .
Théorème 0.10. Relations d’orthogonalité Une famille de caractères de représentations irréductibles non deux à deux isomorphes forme une famille orthonormale de l’espace des fonctions de dans , ce qui signifie :
- Si est le caractère d’une représentation irréductible, on a .
- Si et sont deux caractères de représentations irréductibles non isomorphes, on a .
Démonstration. Soient et deux représentations de la famille considérée, respectivement sur des espaces vectoriels et . Avec la proposition 0.7, on a donc : , où si les deux représentations sont isomorphes (donc en fait égales), et sinon. Or :
Proposition 0.11. Unicité de la décomposition On suppose qu’une représentation de sur est décomposée en somme de représentations irréductibles . Alors si est une représentation irréductible de caractère , le nombre de fois que intervient dans la décomposition (ie le nombre de isomorphes à ) est indépendant de la décomposition et vaut . Au final, si on choisit une famille de représentations deux à deux non isomorphes, on écrit de manière unique avec .
Corollaire 0.12. Deux représentations sont isomorphes si et seulement si elles ont même caractères. De plus, une représentation sur de caractère est irréductible si et seulement si .
Remarque. En fait, on peut montrer que famille des forme une base orthonormale de l’espace vectoriel des fonctions centrale. Le nombre de est donc égal aux nombre de classes de conjugaisons dans .
Référence : [?, p.1][?, p.267]
Utilisation : (***,14) (**,2) (*,0)
Mots clefs : action de groupe, groupes finis, caractères, matrices semblables, sous-espaces stables, dimension, produit
hermitien, espace hermitien, sous groupes finis de .
Auteur du document : Gabriel Peyré