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Transformée de Fourier sur un groupe fini



Transformée de Fourier sur un groupe fini


Définition 0.1. Dual dun groupe Soit G un groupe fini. Par définition, un caractère χ est un morphisme du groupe G  dans le groupe multiplicatif  *
ℂ . On note G^  l’ensemble des caractères, et on l’appelle le dual de G .
^Gest un groupe pour la multiplication des applications, i.e. pour           2
(χ1,χ2) ∈ ^G  on définit

(χ1χ2)(x) = χ1(x)χ2(x).

Proposition 0.1. Soit G  un groupe fini de cardinal n  . Les éléments de ^G  sont en fait les morphismes de G dans le groupe des racines nièmes de l’unité.

Définition 0.2. On note E  l’ensemble des fonctions de G  dans ℂ  . C’est un espace vectoriel de dimension n = Card(G)  sur ℂ  . Sur E  on définit un produit scalaire hermitien, pour (f,g) ∈ E2   par la formule :

       ∑  ----
〈f,g〉 =   f(x)g(x)
       g∈G
y désigne le conjugué de y  .

Proposition 0.2. Dans le cas cyclique Soit G =  ℤ∕pℤ   . Soit      2ıπ
ω = ep-   . Tous les éléments de ^G  sont alors de la forme, pour i ∈ {0,...,n- 1}  :

χi : G → ℂ *     2ıπix
x      ↦→ (ωi)x = e p

On a G ≃ G^  , et même plus fort, car ^G  forme une base orthogonale de E  .

Proposition 0.3. Cas général Soit G  un groupe fini commutatif. Alors ^G  est une base orthogonale de E  . On peut le voir via la décomposition des ℤ  -modules (i.e. des groupes abéliens) :

                                         * r
G ≃ ℤ∕p1ℤ × ...× ℤ ∕prℤ       (p1,...,pr) ∈ (ℕ )
ou alors en montrant que pour tout caractère sur un sous groupe H ⊂ G  peut être prolonger en un caractère de G  , ce qui induit la suite exacte : {1} → G ∕H `→  ^G ↠ H^ → {1} où la flèche G^↠  ^H  est le morphisme de restriction. Ceci montre que ∥^G ∥ = ∥H^∥∥G∕H ∥ , et permet de démontrer par récurrence sur ∥G∥ que ∥^G∥ = ∥G∥
.

Remarque. Tout ceci est faux dans le cas non commutatif, comme le montre l’étude du groupe symétrique Sn  . En effet, si on prend f1 = (a,b)  et f2 = (c,d)  deux transpositions, soit alors une permutation g  dans Sn  telle que : g(a)=c  , g(b) = d  . On a :         -1
f2 = gf1g  d’où , si on note χ  un caractère :

             -1               -1
χ(f2) = χ(gf1g ) = χ(g)χ(f1)χ(g) = χ(f1)
Donc χ  est constante sur les transpositions, et comme     2       2
χ(f1) = χ(f1)  = 1  on a χ(fi) = +1  ou χ(fi) = - 1  . Pour conclure, il suffit, si on prend une permutation quelconque f  dans Sn  , de la décomposer en produit de transpositions, et on a donc seulement deux caractères :
∀f ∈ G,  χ1(f) = 1 etɛ(f)
         χ2(f) = (- 1)

ɛ  désigne la signature. La solution pour contourner ce problème de « manque » de caractère est de considérer des représentations de notre groupe ainsi que les caractères de ces représentations (le dual est composé uniquement des caractères des représentations de dimension 1).

Référence : [?, p.103][?, p.203][?, p.74][?, p.764][?, p.93]
Utilisation : (***,5) (**,2) (*,0)
Mots clefs : groupe fini, dualité, racines de l’unité, caractères, produit hermitien, transformée de Fourier, algorithmes, polynômes, racines de l’unité.

LECONS CONCERNEES
103 - Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications
104 - Groupes finis. Exemples et applications
108 - Exemples de parties génératrices d'un groupe.
109 - Anneau Z/nZ. Applications
113 - Groupe des nombres complexes de module 1. Application
132 - Formes linéaires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications
134 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel hermitien de dimension finie

Auteur du document : Gabriel Peyré  
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