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1 Structure des corps finis

1.1 Caractéristique, cardinal

K : corps fini. Image de ℤ  dans K  : isomorphe à un ℤ∕pℤ  (p  premier: caractéristique). Corps des fractions isomorphe à 𝔽p= ℤ∕pℤ  , sous-corps premier de K  .

p
σ:x↦→x est un automorphisme de K  .

K : extension de 𝔽p  de degré n  . On a ∣K ∣ = pn  .

1.2 Existence et unicité des corps finis

Théorème 1 (existence) Pour tout p  premier et tout n ≥ 1  , il existe un corps fini à q = pn  éléments: le corps de décomposition de xq - x  sur 𝔽p  , noté 𝔽q  .

Théorème 2 (unicité) Tout corps à q  éléments est isomorphe à 𝔽q  .

1.3 Conditions suffisantes (cas fini)

Théorème 3Tout anneau intègre fini est un corps.

Théorème 4 (Wedderburn) Tout anneau à division fini est un corps.

1.4 Sous-corps, clôture algébrique

Théorème 5Soit 𝔽q  un corps fini à q = pn  éléments. Alors tout sous-corps de 𝔽q  est d’ordre pm  où m ∣n
. Réciproquement, si m ∣n  , 𝔽q  a un unique sous-corps 𝔽r  d’ordre r = pm  .

𝔽r={x∈𝔽q:xr - x = 0}

On peut alors définir: ^𝔽  = ⋃  𝔽 n!
 p   n≥1 p   . C’est la clôture algébrique de tout 𝔽
 q  avec q = pn  .

2 Groupe multiplicatif de 𝔽q

Théorème 6Le groupe multiplicatif 𝔽*q  du corps fini 𝔽q  est cyclique d’ordre q- 1  .

Application: logarithme discret, cryptographie.

Théorème 7Si p = 2  , tout élément de 𝔽q  est un carré. Si p ⁄= 2  , les carrés de 𝔽*q  forment un sous-groupe d’indice 2 de 𝔽*
q  , noyau de l’homomorphisme η : x ↦→ x(q-1)∕2   , à valeurs dans {±1} .

η est appelé caractère quadratique de 𝔽q  .

Conséquence: tout élément de 𝔽q  est somme de 2 carrés.

3 Polynômes sur les corps finis

𝔽q : corps fini; n  : entier ≥ 1  .

3.1 Existence de polynômes irréductibles

Soit α générateur de  *
𝔽qn  . Alors 𝔽qn = 𝔽q(α)  . Le polynôme minimal de α  sur 𝔽q  est un polynôme irréductible de 𝔽q[X] de degré  n  .

3.2 Corps de décomposition, corps de rupture

Théorème 8Soit f  un polynôme irréductible de 𝔽q[X]  de degré n  . Alors f  a une racine α ∈ 𝔽qn  . De plus, f a n racines simples dans 𝔽qn  : α  , αq  , αq2   , ..., αqn-1   .

Conséquences:

Le corps de rupture et le corps de décomposition d’un polynôme irréductible sont les mêmes. Deux polynômes irréductibles de même degré ont le même corps de décomposition.

Automorphismes de 𝔽 n
 q  laissant 𝔽
  q  invariant: groupe engendré par x ↦→ xq  (cyclique d’ordre n  ).

Si p est premier, n  divise    n
ϕ(p  - 1)  .

3.3 Théorème de Chevalley

Théorème 9K  : corps fini de caractéristique p  . Soient fi ∈ K[X1, ...,Xn]  des polynômes à n  variables tels que ∑
deg(fi) < n  . Alors le nombre de zéros communs dans "Kn est divisible par p  .

Corollaire 1Si les fi  sont sans terme constant, alors ils ont un zéro commun non trivial.

4 Applications

4.1 Groupes simples finis

PSL(n,K) est simple sauf pour n = 2  et K  = 𝔽2  ou 𝔽3  . De plus, si K  est fini, P SL(n,K)  est un groupe simple fini.

4.2 Théorème de Sylow

Lemme 1L’ensemble des matrices triangulaires supérieures dont les termes diagonaux sont égaux à 1  est un p -sous-groupe de Sylow de GL( 𝔽n)
     p  .

4.3 Construction de matrices de Hadamard

Matrices de Hadamard Hn  : matrices de ℳn,n({ ±1})  telles que HnHTn = nIn  .

Théorème 10Soient a
 1   , ..., a
 q  les éléments de 𝔽
  q  avec q ≡ 3 mod 4  , η  le caractère quadratique de 𝔽
q , et H=(b)
ij0≤i,j≤q  avec b  = +1
 ij  pour i = 0  ou j = 0  , b  = - 1
 ij  pour i = j ≥ 1  , b = η(a - a )
ij     j   i  pour i,j≥1 et i ⁄= j  . Alors H  est une matrice de Hadamard d’ordre q + 1  .

4.4 Codes linéaires

Alphabet fini: 𝔽q  (en général q = 2  ). Codage: 𝔽kq → 𝔽nq  . Soient A ∈ ℳn -k,k(𝔽q)  et H = (A,In-k)  . Message a1a2⋅⋅⋅ak ↦→ c = a1⋅⋅⋅akck+1 ⋅⋅⋅cn  avec HcT  = 0  ; ci  : symboles de contrôle. C = Im(𝔽k)
        q
.

dC=min{w(c): c ∈ C\{0}} w(c)  est le nombre de composantes non nulles; dC ≥ s+ 1  ssi s  colonnes de H sont toujours linéairement indépendantes. C  peut corriger jusqu’à t  erreurs si dC ≥ 2t+ 1
.

Code cyclique: linéaire et stable par permutations circulaires. C  est cyclique ssi C  est un idéal de        n
𝔽q[X] ∕(x  - 1)
.

Références

Serre: Cours d’arithmétique.
Lidl: Introduction to finite fields and their applications.
Menezes: Application of finite fields.
Perrin.


Auteur du document : Vincent Lefèvre  
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