La loi de réciprocité quadratique

Table des matières

1 Carrés dans un corps ﬁni
2 Sommes de Gauss
3 Loi de réciprocité quadratique

1 Carrés dans un corps ﬁni

On note, pour tout entier premier p, $𝔽p = ℤ ∕pℤ$ .
On rappelle qu’il s’agit d’un corps à p éléments. D’autre part, $𝔽* = 𝔽 \ {0} p p$ est un groupe cyclique d’ordre p - 1.
On dit qu’un élément $a ∈ 𝔽p$ est un carré s’il existe $b ∈ 𝔽p$ tel que $a = b2$ .

Définition 1 Pour $n ∈ ℕ$ et p un nombre premier supérieur ou égal à 3, le symbole de Legendre n-
p est déﬁni par :

( ( ) { 0 si p divise n n- = +1 si la classe de n modulo p est un carrˊe dans 𝔽p p ( - 1 si la classe de n modulo p n’est pas un carrˊe dans 𝔽p

On dispose alors le résultat suivant dû à Euler :

Proposition 2 Soit p un nombre premier ≥ 3. Il y a autant de carrés que de non carrés dans $* 𝔽p$ . Pour tout $n ∈ ℕ$ , on a la formule

(n-) p-1 p ≡ n 2 [p].

DEMONSTRATION : L’application $ψ : 𝔽*p → 𝔽 *p$ déﬁni par $ψ(x) = x2$ est morphisme de groupe multiplicatif, dont le noyau est {-1, 1} (de cardinal 2 car p ≥ 3) et dont l’image est l’ensemble $*2 𝔽p$ des carrés de $* 𝔽 p$ . Par un théorème d’isomorphisme, il vient $* *2 ∣𝔽p∣ p---1- ∣𝔽 p ∣ = 2 = 2$ , ce qui prouve la première assertion.
Pour tout $x ∈ 𝔽*p$ , le théorème de Fermat nous donne $xp-1 = 1$ et donc $x(p-1)∕2 = ±1$ . Chacune des équations $X(q -1)∕2 = ±1$ a au plus q - 1
-----
2 racines donc exactement p - 1
------
2 racines.
Si $n = x2$ est un carré, on a $( ) n(p- 1)∕2 = xp-1 = 1 = np$ . Sinon, c’est que $( ) n(p-1)∕2 = - 1 = np$ . □

On en déduit immédiatement le

Corollaire 1 Pour $′ n,n ∈ ℕ$ et p premier ≥ 3,

(nn ′) (n )(n ′) ---- = -- -- . p p p

2 Sommes de Gauss

Proposition 3 Soit q un nombre premier ≥ 3, soit A un anneau et soit $α ∈ A$ tel que

1 + α + ...+ αq-1 = 0.

On déﬁnit la somme de Gauss

( ) q-1 ( ) τ = ∑ -i αi = ∑ -i αi. q q i∈𝔽q i=1

On a $2 τ = ɛ(q)q$ où $(--1) ɛ(q) = q$ .
Si p est la caractéristique de A, et est telle que p ≥ 3 et pq, alors $p (p ) τ = --τ q$ .

DEMONSTRATION : Notons tout d’abord que $αp = 1$ ; en effet, $p q- 1 α - 1 = (α - 1)(1 + α + ...+ α ) = 0$ .
D’autre part, on calcule

∑ (i )(j ) ∑ ( - ij ) ɛ(q)τ 2 = ɛ(q) -- -- αiαj = ---- αi+j i,j∈𝔽q q q i,j∈𝔽q q ∑ ( ∑ ( )) ∑ = i(i --k) αk = skαk k∈𝔽q i∈𝔽q q k∈𝔽q

où $sk$ désigne $∑ ( ) i(i---k)- i∈𝔽 q q$ .
Si k=0 et i

0, alors $( ) ( 2) ( )2 i(i---k)- = i- = i- = 1 q q q$ et on en déduit $s = q - 1 0$ .
Supposons k

0. Alors en notant $-1 i$ l’inverse de i dans $* 𝔽q$ ,

(i(i - k) ) (i2(1 - ki- 1) (1 - ki-1) ---q---- = -----q----- = ---q-----.

Or, l’application $* 𝔽q → 𝔽q \ {1}$ , $-1 i ↦- → 1 - ki$ étant clairement bijective, il vient

∑ (i-) ∑ (i-) (1-) sk = q = q - q = - 1, i∈𝔽q\{1} i∈𝔽q

la dernière inégalité étant une conséquence de la proposition 2.
On a donc trouvé

∑ ɛ(q)τ2 = q - 1 - αk = q, k∈ 𝔽*p

ce qui prouve la première partie de la proposition.
A étant de caractéristique p, l’application $p x ↦-→ x$ de $𝔽p$ dans lui-même est un morphisme de corps, appelé morphisme de Frobenius. On peut donc calculer

(∑ (i ) )p ∑ (i )p τ p = --αi = -- αip. i∈𝔽q q i∈𝔽q q

L’entier p étant impair, $(i-)p (i-) q = q$ et donc

(p-) p ∑ (ip-) ip ∑ (j-) j q τ = q α = q α = τ. i∈𝔽q j∈𝔽q

On a utilisé le fait que, p étant inversible dans $𝔽q$ , l’application $i ↦- → ip$ est bijective. □

3 Loi de réciprocité quadratique

Voici le résultat principal de cet article.

Théorème 4 Soit p et q deux nombres premiers distincts ≥ 3. Alors

(p) (p-1)(q-1)(q-) q = (- 1) 4 p .

DEMONSTRATION : On se place dans l’anneau $A = 𝔽p[X] ∕(Φq)$ où $Φq$ est le polynôme cyclotomique $q-1 1 + X + ...+ X$ . Dans cet anneau quotient de caractéristique p, on note α la classe de X, de sorte que $Φq( α) = 0$ . On déﬁnit

∑ (i ) τ = -- αi. i∈𝔽q q

D’après la proposition 2, on a $2 τ = ɛ(q)q$ et donc $( ) ɛ(q)q 2 p-21 p-1 p = (τ ) = τ$ .
D’autre part toujours d’après cette proposition, $p (p-) τ = q τ$ et on en déduit