Transformée de Fourier sur un groupe fini
Transformée de Fourier sur un groupe fini
Définition 0.1. Dual d’un groupe Soit un groupe fini. Par définition, un caractère est un morphisme
du groupe dans le groupe multiplicatif . On note l’ensemble des caractères, et on l’appelle le dual
de .
est un groupe pour la multiplication des applications, i.e. pour on définit
Proposition 0.1. Soit un groupe fini de cardinal . Les éléments de sont en fait les morphismes de dans le groupe des racines nièmes de l’unité.
Définition 0.2. On note l’ensemble des fonctions de dans . C’est un espace vectoriel de dimension sur . Sur on définit un produit scalaire hermitien, pour par la formule :
Proposition 0.2. Dans le cas cyclique Soit . Soit . Tous les éléments de sont alors de la forme, pour :
On a , et même plus fort, car forme une base orthogonale de .
Proposition 0.3. Cas général Soit un groupe fini commutatif. Alors est une base orthogonale de . On peut le voir via la décomposition des -modules (i.e. des groupes abéliens) :
Remarque. Tout ceci est faux dans le cas non commutatif, comme le montre l’étude du groupe symétrique . En effet, si on prend et deux transpositions, soit alors une permutation dans telle que : , . On a : d’où , si on note un caractère :
Où désigne la signature. La solution pour contourner ce problème de « manque » de caractère est de considérer des représentations de notre groupe ainsi que les caractères de ces représentations (le dual est composé uniquement des caractères des représentations de dimension 1).
Référence : [?, p.103][?, p.203][?, p.74][?, p.764][?, p.93]
Utilisation : (***,5) (**,2) (*,0)
Mots clefs : groupe fini, dualité, racines de l’unité, caractères, produit hermitien, transformée de Fourier, algorithmes,
polynômes, racines de l’unité.
Auteur du document : Gabriel Peyré