Résultant et application à l'élimination
Résultant et application à l’élimination
Soient et deux polynômes sur un corps . Lorsque et possèdent un facteur non trivial, ie. et , l’équation :
| (1) |
possède les solutions et . Réciproquement, l’existence de solution nulle implique l’existence d’un facteur commun non trivial. En projetant l’équation (1) sur la base canonique de , l’existence de solution non nulle est équivalente à la nullité du déterminant :
Remarque. Si on se place dans la clôture algébrique de , alors l’écriture (2) est toujours réalisée et on peut appliquer .
Proposition 0.2. Généralisation Le résultant est un polynôme entier en les coefficient de et , i.e.
. Ceci permet de le calculer dans un anneau quelconque.
Si l’anneau est intègre et factoriel, en utilisant le théorème précédent dans le corps de fraction ,
on garde la propriété que et on un facteur commun non trivial si et seulement si , ce
qui est équivalent à une racine commune dans une extension algébriquement close de .
Remarque. La proposition 0.2 nous permet de traiter le cas des polynômes en plusieurs variables, i.e. si , on utilise avec qui est intègre et factoriel.
On souhaite éliminer la variable entre deux polynômes , notés de la façon suivante :
Définition 0.2. Idéal d’élimination <;/span>Pour , on note le polynôme évalué en . On pose . Soit . On note . C’est l’idéal d’élimination. En quelque sorte, l’idéal contient toutes les façons d’éliminer la variable des équations .
Proposition 0.3. Elimination On a . Donc si est un zéro commun de et , alors . Au final, le calcul de conduit à une équation en variables.
Théorème 0.4. Extension On suppose connu tels que . Alors, si on n’est pas dans l’un des cas suivants :
il existe tel que soit un zéro commun à et .
Référence : [?, p.147][?, p.25][?, p.162]
Utilisation : (***,0) (**,3) (*,0)
Mots clefs : déterminant, polynômes, équations polynomiales, élimination.
Auteur du document : Gabriel Peyré