1 - Définition, réduction, premiers exemples :
. Généralités [relation de similitude, changement de base, réduction selon le rang]
. Action de sur un espace vectoriel [théorème de Brauer]
. Trigonalisation, diagonalisation[?, p.294]
. Diagonalisation des endomorphismes symétriques, applications [lignes de courbures, axes des coniques, matrice d’inertie]
. Une vision géométrique : quadriques et classes de similitude
2 - Invariants de similitudes :
. Approche algébriques, dualité [expliquer en quoi ça résout le problème de similitude]
. Modules de type fini sur un anneau euclidien[?, p.451] [réduction de matrice, base adaptée, invariants]
. Applications aux réseaux et aux générateurs/relations
. Algorithme de calcul des invariants de similitude
. Application aux systèmes différentiels linéaires [réduction de Jordan et calcul de l’exponentielle]
3 - Décompositions matricielles et applications :
. Méthode de Gauss, décomposition LU et de Cholesky
. Décomposition QR [expliquer les matrices de Householder]
. Méthode QR et recherche de valeurs propres
4 - Représentation linéaire des groupes finis :
. Définitions [représentations somme, irréductible, adjointe]
. Représentation par permutation, représentation régulière [application au théorème de Brauer]
. Lemme de Schur, relation d’orthogonalité entre les caractères [définir les caractères, le produit scalaire]
. Représentation des groupes classiques [groupe diédrale, groupe du carré]