Quadriques et classes de similitudes
Quadriques et classes de similitudes
Définition 0.1. Les formes quadratiques étudiées On identifie à . Le déterminant définit sur une forme quadratique , où l’on a noté . C’est une forme quadratique non dégénérée de signature . L’autre forme quadratique est définie par . C’est une forme quadratique non dégénérée de signature . Un autre cône important est celui des matrices impotentes, noté . On notera .
Proposition 0.1. Etude de Le cône isotrope pointé de est composé des matrices de
rang 1. Un représentant de chaque classe peut être donné par ou par où ,
suivant que la trace est nulle ou pas. La matrice correspond à la classe de similitude .
L’équation de l’hyperplan tangent à en un point est . Cet hyperplan
coupe suivant deux plans et . Ces deux plans se rencontrent suivant la génératrice de
issue de .
Proposition 0.2. Etude de et Pour , est constitué des matrices ayant même noyau que , et des matrices ayant même image que .
Définition 0.2. Hyperplans affines On note , qui est un hyperplan vectoriel
de . On note l’hyperplan des matrices symétriques.
Les hyperplans affines correspondants à sont les .
Proposition 0.4. Cones et hyperplans Sur , on a et .
De même, est un vrai cône de . Par contre, on a .
Enfin, on a aussi .
Proposition 0.5. Obtention des hyperboloïdes
- Pour , est un hyperboloïde à une nappe.
- Pour , est un hyperboloïde à deux nappes.
Proposition 0.6. Etude de certains polynômes Pour on pose :
- Les racines de sont réelles si et seulement si celles de sont complexes conjuguées.
- Les racines de sont réelles si et seulement si celles de sont complexes conjuguées.
Théorème 0.7. Etude des classes de similitude Soit une matrice de valeurs propres et .
- Si les valeurs propres sont réelles et distinctes, la classe de similitude de est une hyperboloïde à une nappe.
- Si les valeurs propres sont complexes conjuguées et distinctes, la classe de similitude de est une hyperboloïde à deux nappes.
- Si les deux valeurs sont égales et la matrice non scalaire, la classe de similitude est un vrai cône de privé de son sommet.
- Si la matrice est scalaire, la classe de similitude est un point.
Référence : [?, p.217]
Utilisation : (***,2) (**,2) (*,0)
Mots clefs : matrices semblables, quadriques, cônes, matrices nilpotentes.
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128 - Endomorphismes nilpotents | |
131 - Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Applications | |
136 - Coniques |
Auteur du document : Gabriel Peyré