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Quadriques et classes de similitudes



Quadriques et classes de similitudes


Définition 0.1. Les formes quadratiques étudiées On identifie ℝ4   à E  = M (2,ℝ)  . Le déterminant définit sur E une forme quadratique q(A) = ad- bc , où l’on a noté     (    )
A =  a  b
      c d . C’est une forme quadratique non dégénérée de signature (2,2)  . L’autre forme quadratique est définie par l(A) = tr(A2) = a2 +d2 + 2bc  . C’est une forme quadratique non dégénérée de signature (3,1)  . Un autre cône important est celui des matrices impotentes, noté Cnilp  . On notera C *nilp = Cnilp - {0} .

Proposition 0.1. Etude de C(q)  Le cône isotrope pointé C(q)- {0} de q  est composé des matrices de rang 1. Un représentant de chaque classe peut être donné par      (    )
N  =  0  1
      0  0 ou par λP  où     (     )
P =   1  0
      0  0 , suivant que la trace λ  est nulle ou pas. La matrice N  correspond à la classe de similitude C *nilp  .
L’équation de l’hyperplan tangent à C(q)  en un point A est {X ∈ E,  tr(AX) = tr(A)tr(X)} . Cet hyperplan coupe C(q)  suivant deux plans P1(A)  et P2(A)  . Ces deux plans se rencontrent suivant la génératrice de C(q) issue de A  .

Proposition 0.2. Etude de P1   et P2   Pour X ∈ C(q)  , P1(X)  est constitué des matrices ayant même noyau que X  , et P2(X)  des matrices ayant même image que X  .

Définition 0.2. Hyperplans affines On note H0 =  {A ∈ E,   tr(A) = 0} , qui est un hyperplan vectoriel de E . On note Hs  l’hyperplan des matrices symétriques.
Les hyperplans affines correspondants à H0  sont les Ha = {A ∈ E,  tr(A) = a} .

Proposition 0.3. Etude de C(l)  Pour A ∈ C(l)  , l’hyperplan tangent en A  à C(l)  est

τlA = H(A) = {X ∈ E,  tr(AX) = 0}.

Proposition 0.4. Cones et hyperplans Sur H0   , on a l = - 2q  et C(q)∩ H0 = C(l)∩H0 = Cnilp  .
De même, C(q)∩ Hs  est un vrai cône de ℝ3   . Par contre, on a C(l)∩ Hs = {0} .
Enfin, on a aussi C(q)∩ C(l) = Cnilp  .

Proposition 0.5. Obtention des hyperboloïdes

  • Pour a ∈ ℝ  , Ha ∩C(q)  est un hyperboloïde à une nappe.
  • Pour a ∈ ℝ  , Ha ∩C(l)  est un hyperboloïde à deux nappes.

Proposition 0.6. Etude de certains polynômes Pour A ∈ E  on pose :

Π1(X) = det(A- XI2) et Π2(X) = tr((A - XI2)2)
Les racines (λ1,λ2)  de Π1   et (μ1,μ2)  de Π2   forment un carré, les diagonales joignant les racines du même polynôme. En particulier :
  • Les racines de Π1   sont réelles si et seulement si celles de Π2   sont complexes conjuguées.
  • Les racines de Π2   sont réelles si et seulement si celles de Π1   sont complexes conjuguées.

Théorème 0.7. Etude des classes de similitude Soit A ∈ E  une matrice de valeurs propres α  et β
.

  • Si les valeurs propres sont réelles et distinctes, la classe de similitude de A  est une hyperboloïde à une nappe.
  • Si les valeurs propres sont complexes conjuguées et distinctes, la classe de similitude de A  est une hyperboloïde à deux nappes.
  • Si les deux valeurs sont égales et la matrice non scalaire, la classe de similitude est un vrai cône de R3   privé de son sommet.
  • Si la matrice est scalaire, la classe de similitude est un point.

Référence : [?, p.217]
Utilisation : (***,2) (**,2) (*,0)
Mots clefs : matrices semblables, quadriques, cônes, matrices nilpotentes.

LECONS CONCERNEES
121 - Matrices équivalentes. Matrices semblables. Applications
128 - Endomorphismes nilpotents
131 - Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Applications
136 - Coniques

Auteur du document : Gabriel Peyré  
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