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Sous groupes compacts de GL(E)



Sous groupes compacts de GL(E)


Théorème 0.1. L’enonce à dEmontrer E  est un ℝ   -ev de dimension n  . Soit G  un sous groupe compact de GL(E)   . Alors il existe un produit scalaire 〈.∣.〉G   sur E  , de forme quadratique qG   tel que G⊂O(qG)  .

  • Si on suppose G  fini, la réponse est évidente, il suffit de considérer :
              2         -1-∑
∀(x,y) ∈ E , 〈x,y〉G = ∣G∣   〈g(x),g(y)〉
                       g∈G

  • Construction d’un point fixe pour v ∈ G   : Si on suppose que l’on dispose d’un compact convexe non vide K ⊂ E  tel que pour un v ∈ G  fixé, on ait v(K) ⊂ K  , on va construire un point fixe pour v  . En effet, on prend x0 ∈ K  et un considère la suite :
           1  ∑k
xk = -----   vi(x0)
     k +1 i=0

  • Construction d’une norme strictement convexe stable par G   : On définit :
    ∀x ∈ E, N G(x) = max ∥g(x)∥
                g∈G
    (1)

  • Construction d’un point fixe pour G   : Cette fois ci, on suppose que l’on dispose d’un compact K  stable par tous les éléments de G  . Pour u ∈ G  , on note Fu = {x ∈ E, u(x) = x} . Comme K  est compact et les Fu  fermé, Il suffit donc de montrer que pour toute famille finie      p
{Fuk}k=1   , on a ⋂n
  k=1Fuk ⁄= ∅ . Pour ce faire, on construit     1∑p
v = p  k=1 uk  , qui vérifie v(K) ⊂ K  . Reste à montrer que le point fixe a  de v  est un point fixe commun des uk  , ce qui provient de la stricte convexité de la norme N G
.
  • Une opération linéaire de G  sur 𝒮n   : On note 𝒮n  l’espace vectoriel des matrices symétriques, et 𝒮+n+  le cône convexe des matrices symétriques définies positives. On note * la loi symétrisée sur G  , i.e. définie par ∀(g1,g2) ∈ G2, g1 *g2 = g2g1   . On peut définir une action de (G,*)  sur 𝒮n  par via la formule ∀g ∈ G, ∀S ∈ 𝒮n, gS = tgSg  , ce qui correspond à la donnée du morphisme :
    ρ : (G, *) →  GL(𝒮n)            t
       g  ↦→  ρ(g)  avec ρ(g)(S) = gSg

    On vérifie que ceci définit bien une action, ie ρ(g1*g2) = ρ(g1)ρ(g2)  et ρ(Id) = Id  . De plus, cette action est linéaire.

  • Construction de 〈.∣.〉G   : On note 𝒢 = ρ(G) ⊂ GL(𝒮n)  , qui est compact comme image continue de G  compact par ρ  continue (car polynomiale). Soit alors     t
𝒮 = {gg, g ∈ G} , compact comme image de G  par     t
g →  gg
continue car polynomiale, et est inclus dans  ++
𝒮n  , par construction (les éléments de G  sont inversibles). On note K  l’enveloppe convexe de 𝒮 , qui est à son tour compacte, d’après le théorème de Carathéodory, et incluse dans  ++
𝒮n  qui est convexe. On remarque que, comme l’action de G  est linéaire, comme 𝒮 est stable par l’action de G  , K  l’est aussi, ce qui veut dire que K  est stable par 𝒢 , qui est un sous groupe de GL(𝒮n)  . D’après l’étude menée aux paragraphes précédents, on peut donc trouver un élément          ++
S ∈ K ⊂ 𝒮n  fixe par tous les éléments de 𝒢 , ce qui signifie                 t
∀g ∈ G, ρ(g)(S) = gSg = S  i.e. G ⊂ O(qS)  , où qS  est le produit scalaire euclidien défini par S
.

Référence : [?, p.141]
Utilisation : (***,4) (**,1) (*,0)
Mots clefs : compacité, point fixe, convexité, actions de groupe.

LECONS CONCERNEES
101 - Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications
106 - Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications
133 - Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie
137 - Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications
141 - Utilisation des groupes en géométrie

Auteur du document : Gabriel Peyré  
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