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Méthodes de projection pour les équations intégrales



Méthodes de projection pour les équations intégrales


Définition 0.1. Méthode de projection On se donne X  et Y  deux espaces de Banach , ainsi que A:X→  Y  un opérateur borné injectif. Pour f ∈ A(X) ⊂ Y  , on cherche à approximer la solution du problème :

trouver ϕ ∈ X tel que Aϕ = f
(1)

Pour se faire, on se donne une suite de sous espaces vectoriels Xn  ⊂ X  et Yn ⊂ Y  de dimension finie n  , ainsi que des projecteurs Pn : Y → Yn  . On considère alors le problème approché :

trouver ϕn ∈ Xn tel que PnA ϕn = Pnf
(2)

Cette méthode de projection est dite convergente s’il existe un rang n0  à partir duquel pour tout f ∈ A(X)  , l’équation approchée (2) admet une unique solution ϕn ∈ Xn  , et que cette solution converge vers la solution ϕ  de (1), ie. ϕn ----→ ϕ
   n→ ∞  .

Remarque. Cette condition de convergence peut s’exprimer plus simplement en fonction de l’opérateur An=PnA : Xn → Yn  . Elle signifie simplement qu’à partir d’un certain rang, cet opérateur est inversible (ie que le système linéaire obtenu est inversible), et que de plus, on a une convergence ponctuelle :

A -n1(Pnf ) = A-n 1(Pn(A ϕ)) = (PnA)-1PnA ϕ --n-→-→∞ ϕ
Il faut bien sûr garder à l’esprit que l’opérateur A
  n  est défini sur X
 n  alors que l’opérateur composé PA
n est défini sur X  tout entier. Ainsi, l’opérateur (P A)-1P  A
  n      n  n’est pas l’identité (c’est justement notre but : approcher l’identité à l’aide de cet opérateur), il faut tenir compte des ensembles de départ et d’arrivée !

Théorème 0.1. Banach-Steinhaus Soit {An}n∈ℕ   une suite d’opérateurs bornés An : X → Y  entre deux espaces de Banach X  et Y  . On suppose que la suite est bornée ponctuellement, ie que pour tout ϕ ∈ X  , il existe une constante Cϕ  telle que ∥An ϕ∥Y ≤ Cϕ  . Alors, la suite est bornée uniformément en norme, ie il existe une constante C  telle que ∀n ∈ ℕ, ∥An ∥ ≤ C  .

Corollaire 0.2. Continuité dune limite ponctuelle Soit {An}n∈ℕ     une suite d’opérateurs bornés An:X→  Y  entre deux espaces de Banach X  et Y  . On suppose que cette suite converge ponctuellement vers un opérateur A : X → Y  , ie que ∀ϕ ∈ X, An ϕ --n-→-∞→ Aϕ  . Alors l’opérateur A  est à son tour borné.

Proposition 0.3. Compacité et convergence uniforme Soit {An}n∈ℕ   une suite d’opérateurs bornés An:X→  Y  entre un espace normé X  et un espace de Banach Y  . On suppose que la suite converge ponctuellement vers un opérateur A : X → Y  (à son tour borné grâce au corollaire 0.2). Alors, la convergence est uniforme en norme sur tout ensemble compact U ⊂  X  , ie :

sϕu∈pU∥An ϕ- A ϕ∥Y --n-→ -→∞  0

Proposition 0.4. Convergence ponctuelle et convergence en norme On considère une suite {L }
  n n∈ℕ   d’opérateurs bornés L : Y → Z
 n  , avec Z  un espace normé et Y  un espace de Banach. On suppose de plus que cette suite converge ponctuellement vers un opérateur L : Y → Z  (lui aussi borné). On se donne aussi un opérateur compact borné A : X → Y  , où X  est un espace vectoriel normé quelconque. Alors on a convergence en norme de la suite d’opérateurs bornés compacts L  A : X → Z
  n  vers l’opérateur LA  , ie :

∥(L  - L)A∥ ----→ 0
   n        n→∞

Remarque. Dans la suite, on se place dans le cadre où les espaces Xn  sur lesquels on projette possèdent la propriété de densité en norme, ie :

∀ϕ ∈ X, ψi∈nXfn∥ψ - ϕ∥ --n-→-→∞ 0
(3)

ce qui est bien sûr une condition nécessaire pour espérer pouvoir construire des méthodes convergentes (et qui n’est pas loin d’être suffisante, comme le montre le résultat suivant).

Théorème 0.5. CNS de convergence des méthodes de projection On se place dans le cadre de densité décrit par (3). Une méthode de projection pour un opérateur A : X → Y  entre deux espaces de Banach X  et Y  converge si et seulement si il existe un rang n0   à partir duquel les opérateurs de dimension finie PnAn : Xn → Yn  sont inversibles et si les opérateurs d’approximation (PnA)-1PnA : X → Xn  sont uniformément bornés, i.e. :

∃M > 0, ∀n ≥ n0, ∥(PnA) -1PnA ∥ ≤ M
(4)

Dans ce cas, on a une estimation de l’erreur commise en approchant ϕ ∈ X  par la solution approchée      -1
ϕn=(PnA)   PnA ϕ   :

∥ϕ- ϕn∥X ≤ (1 +M )ψi∈nXfn ∥ψ - ϕ∥
(5)

Remarque. Dans la suite, on considère un opérateur compact A : X → X  sur un espace de Banach X  , tel que I- A  soit injectif, et l’on cherche à résoudre l’équation de Fredholm, pour f ∈ Im(A) = A(X)
 :

trouver ϕ ∈ Xtel que ϕ- A ϕ = f
(6)

Pour approcher la solution, on n’a besoin que d’une suite Xn  d’espaces de dimension finie n  , ainsi que de projecteurs Pn:X→ Xn  , ce qui conduit à la résolution de l’équation en dimension finie :

trouver ϕn ∈ Xntel que ϕn - PnA ϕn = Pnf
(7)

Si l’on suppose I - A  injectif et f ∈ (I - A)(X)  , c’est ce que l’on appellera une méthode de projection pour I - A
.

Théorème 0.6. Convergence pour les équations de Fredholm du second type On suppose que A:X→  X  est borné compact sur X  un espace de Banach, et tel que I - A  soit injectif. On suppose de plus que les projecteurs Pn  convergent ponctuellement, ie que ∀ϕ ∈ X, Pnϕ ----→ ϕ
             n→∞  . Alors la méthode de projection pour I - A  détaillée en (7) converge.

Référence : [?, p.100]
Utilisation : (***,4) (**,5) (*,1)
Mots clefs : dimension finie, espaces complets, opérateurs compacts, méthodes de quadrature, approximation, projection.

LECONS CONCERNEES
201 - Espaces de fonctions. Exemples et applications
203 - Utilisation de la notion de compacité
205 - Espaces complets. Exemples et applications
209 - Utilisation de la dénombrabilité en analyse et en probabilités
210 - Applications linéaires continues entre espaces vectoriels normés. Exemples et applications
211 - Utilisation de la dimension finie en analyse
232 - Méthodes d'approximation des solutions d'une équation F(X)=0. Exemples
236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles
238 - Méthodes de calcul approché d'intégrale
248 - Approximation des fonctions numériques par des fonctions polynomiales ou polynomiales par morceaux. Exemples

Auteur du document : Gabriel Peyré  
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