Le Théorème de Stampacchia
Table des matières
On considère ici un espace de Hilbert H muni de son produit scalaire , celui-ci induit une topologie normée complète. Voici quelques exemples de tels espaces :
- les espaces vectoriels de dimension finie,
- l’espace des fonctions de carré intégrable sur l’espace mesuré ,
- les espaces de Sobolev .
On peut d’ailleurs montrer que tout espace de Hilbert séparable de dimension infinie est isométriquement isomorphe à .
Sur un espace de Hilbert, on dispose d’un opérateur de projection orthogonale
sur des sous-ensembles bien choisis. Plus précisément :
Théorème 1 Si est un convexe non vide et fermé alors pour tout
élément il existe un unique vérifiant
u est le projeté de f sur K et sera noté . On a l’équivalence
(1)
Signalons également que l’opérateur est lipschitzien de rapport 1, c’est-à-dire qu’on a
Voici une bonne description du dual topologique H′ de H.
Théorème 2 (Riesz-Fréchet)
Pour toute forme linéaire continue , il existe un unique tel
que
Et de plus
Un espace de Hilbert est donc isométriquement isomorphe à son dual topologique et est par conséquent un espace reflexif.
Définition 3 On dit qu’une forme bilinéaire est coersive
si
Voici maintenant le résultat principal de cet article.
Théorème 4 (Stampacchia) Considérons une forme
bilinéaire continue et coersive ; soit K un convexe non vide fermé de H. Pour toute
il existe unique vérifiant
Si de plus a est symétrique alors u est caractérisé par
(2)
DEMONSTRATION : On représente tout d’abord la forme linéaire comme un produit scalaire grâce au théorème de Riesz-Fréchet 2 :
Pour chaque fixé, l’application est un élément de H′ et donc encore par 2, il existe un unique élément noté tel que
Ainsi définit, l’opérateur A est linéaire ; en effet, les égalités et entraînent ( et l’unicité de la représentation permet de conclure.
Par coersivité de la forme a, on peut trouver α > 0 tel que
| (3) |
D’autre part, a étant supposée continue, il vient pour tout ,
où est la norme de a. L’inégalité 3 implique évidemment
L’inégalité 2 à prouver est équivalente à
et si désigne un réel > 0, alors cela équivaut encore à
ou encore
d’après la relation 1 du théorème 1. Il s’agit donc d’étudier les points fixes de l’application . Soit . étant lipschitzien, on a
et donc
Supposons maintenant a symétrique. Alors c’est un produit scalaire qui muni H d’une structure d’espace de Hilbert A nouveau grâce au thérorème de représentation de Riesz 2, on sait qu’il existe un unique tel que
La relation 2 s’écrit alors
et par conséquent , projection dans (H,a). La première assertion du théorème 1 donne alors
ou encore
c’est-à-dire encore
Comme application de ce théorème, on peut d’abord penser au théorème de Lax-Milgram, mais celui-ci peut se prouver simplement par des méthodes plus élémentaires.
Le théorème de Stampacchia se révèle être un outil efficace pour l’étude de certaines équations aux dérivées partielles elliptiques. Il donne en effet existence et unicité des solutions faibles. Il s’applique par exemple au problème de Dirichlet non homogène
Auteur du document : Stéphane Vento