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1 Définition

Définition 1Soit I  un intervalle de ℝ  . Une fonction f : I → ℝ  est dite convexe si ∀x,y ∈ I  , ∀λ ∈ ]0,1[
, f(λx+(1-λ)y) ≤ λf (x) +(1 - λ)f(y)  .

Géométriquement: si P  , Q  , R  sont 3 points du graphe de f  avec Q  entre P  et R  , alors Q  est au-dessous de la corde [PR] (au sens large).
{(x,y)∈ℝ2:y≥f (x)} est convexe.

PIC

En termes de pentes: p(P Q) ≤ p(P R) ≤ p(QR)  .

Exemples: fonctions affines, x2  , - log  , exp  .

2 Propriétés

Soit f:I→ℝ convexe. I∘ : intérieur de I  .

Théorème 1Si I = [a,b]  , alors f  est majorée par M  = max{f (a),f(b)} et minorée (par    a+b-
2f( 2 )- M
).

Théorème 2Pour tout [a,b] ⊂ I∘ , f∣[a,b]   est lipschitzienne. Par conséquent, f  est continue sur I∘ .

Contre-exemple: f(a) = f(b) = 1  , et f (x) = 0  pour a < x < b  .

Théorème 3Si f  est convexe, f′
 - et f′
 +   existent et sont croissantes sur I∘ , et on a f′ ≤ f′
 -   +   .

Exercice: pour k  entier ≥ 1  ,  ∫ 2π
1-   f(x).coskx.dx ≥ 0
π 0  .

Théorème 4 ′
f existe sauf sur un ensemble E  au plus dénombrable et  ′
f est continue sur  ∘
I \E  .

3 Caractérisations

Soit I un intervalle ouvert, et f : I → ℝ  .

Théorème 5Supposons f  dérivable. f  est convexe ssi f′ est croissante.

Théorème 6Supposons f  deux fois dérivable. f  est convexe ssi f′′ ≥ 0  .

Théorème 7f  est convexe ssi pour tout x0 ∈ I  , il existe m ∈ ℝ  tel que f (x0)+ m(x - x0) ≤ f(x)  .

′′
m∈[f-(x0),f+(x0)]  . Si f  est dérivable, m  est unique.

4 Stabilité par certaines opérations

Théorème 8L’ensemble des fonctions convexes sur I  est stable par +  , multiplication par un réel α ≥ 0  , et passage à la limite si celle-ci existe.

Définition 2On dit que f  est log-convexe si f > 0  et logf  est convexe.

Exemple:  ∫+ ∞ - tx-1
Γ(x)= 0  e  t   dt  .

Une fonction log-convexe est convexe.

Théorème 9L’ensemble des fonctions log-convexes sur I  est stable par +  , × , et passage à la limite si celle-ci existe et est strictement positive.

5 Fonctions midconvexes

Définition 3Une fonction f : I → ℝ  est dite midconvexe si ∀ x,y ∈ I  ,  (x+y)   1
f -2-  ≤ 2(f(x) + f(y))  .

(ssi on a l’inégalité de Jensen avec coef. rationnels)

Théorème 10Si f  est midconvexe et continue, f  est convexe.

Théorème 11Si f  midconvexe est majorée sur un ensemble de mesure non nulle, alors f  est continue, donc convexe.

Théorème 12Si f  est midconvexe et mesurable, alors f  est continue, donc convexe.

6 Applications: inégalités classiques

6.1 Inégalité de Jensen et ses applications

Inégalité de Jensen: si f : I → ℝ  est convexe, xi ∈ I  , αi > 0  tels que ∑n αi = 1
  1  , alors

 (  n     )   n
f  ∑  αixi  ≤ ∑  αif (xi).
    1          1

Pour 1≤i≤n , soient xi,yi > 0  .

Inégalité arithmético-géométrique:

x1-+⋅⋅⋅+-xn ≥ (x1...xn)1∕n.
     n

Inégalité de Minkowski: si p ≥ 1  , alors
(n)1∕p   ( n   )1∕p  (  n   )1∕p
∑(x+y)p  ≤   ∑  xp    +   ∑  yp
i=1ii      i=1 i        i=1 i  .

Application: permet de définir des normes dans ℝn  .

Inégalité de Hölder: si p,q > 0  tels que 1∕p+ 1∕q = 1  , alors          (      )1∕p(      )1∕q
∑n         ∑n  p      ∑n  q
   xiyi ≤     xi         yi
i=1        i=1        i=1
.

Application: comparaison des normes.

6.2 Inégalité de Karamata

Soit φ:I→ℝ convexe continue, x1 ≥ x2 ≥ ⋅⋅⋅ ≥ xn  et y1 ≥ y2 ≥ ⋅⋅⋅ ≥ yn  tels que ∀k  , ∑k     ∑k
   xi ≥   yi
i=1    i=1  , et n∑n∑
xi=yi
i=1i=1  . Alors n∑         n∑
   φ(xi) ≥    φ(yi)
i=1        i=1  .

Références

Roberts et Varberg: Convex Functions.
Beckenbach et Bellman: Inequalities.
Arnaudiès et Fraysse.
Ovaert: Analyse vol. 1.


Auteur du document : Vincent Lefèvre  
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