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Résultant et application à l'élimination



Résultant et application à l’élimination


Soient        ∑m       i
f (X) =   i=0aiX  et       ∑n       i
g(X) =   i=0aiX  deux polynômes sur un corps 𝕂  . Lorsque f  et g  possèdent un facteur non trivial, ie. f = f1h  et g = g1h  , l’équation :

uf + vg = 0 avec deg(u) ≤ deg(g)- 1 et deg(v) ≤ deg(f)- 1
(1)

possède les solutions u = g
    1  et v = - f
      1  . Réciproquement, l’existence de solution nulle implique l’existence d’un facteur commun non trivial. En projetant l’équation (1) sur la base canonique de 𝕂  [X] × 𝕂  [X]
  m      n  , l’existence de solution non nulle est équivalente à la nullité du déterminant :

∣∣am                     bn                 ∣∣
∣∣am -1   am             bn-1   bn           ∣∣
∣∣            ..                    ..      ∣∣
∣∣      am-1    .             bn-1   .      ∣∣
∣∣ ...          ...  am     ...         ...   bn ∣∣
∣∣        .                     .           ∣∣
∣∣ a0     ..       am- 1   b0     ..       bn-1∣∣
∣∣       a0                    b0           ∣∣
∣∣            ...   ...               ...    ... ∣∣
∣∣                 a                     b  ∣∣
                   0                     0

Définition 0.1. Le déterminant () se nomme le résultant de f  et g  et se note Res  (f,g)
    X  .

Théorème 0.1. Propriétés du résultant

  • ResX(f,g) = (- 1)mnResX(g, f)
  • ResX(f,b0) = bm0   , pour b0 ∈ 𝕂  .
  • Si deg(f) = m ≤ n = deg(g)  , et si h  est le reste de la division de g  par f  , on a
    ResX(f, g) = anm-m ResX(f,h).

  • ResX(f,g) = 0  si et seulement si f  et g  ont un facteur non trivial.
  • Si f  et g  s’écrivent :
    f = a0(X - α1)()(X - αm) (2)
    g = b0(X - β1)()(X - βn) (3)
    alors on a :
                   m                  n             m  n
ResX(f,g) = an∏  g(αi) = (- 1)mnbm ∏ f(βj) = anbm ∏ ∏ (αi - βj)
             mi=1              n j=1        m n i=1 j=1

Remarque. Si on se place dans la clôture algébrique --
𝕂  de 𝕂  , alors l’écriture (2) est toujours réalisée et on peut appliquer (v)  .

Proposition 0.2. Généralisation Le résultant est un polynôme entier en les coefficient de f  et g  , i.e. Res(f,g) ∈ ℤ[a ,...,a ,b ,...,b  ]
X        0     m  0     m  . Ceci permet de le calculer dans un anneau A  quelconque.
Si l’anneau A  est intègre et factoriel, en utilisant le théorème précédent dans le corps de fraction Frac(A)  , on garde la propriété que f  et g  on un facteur commun non trivial si et seulement si Res  (f,g) = 0
   X  , ce qui est équivalent à une racine commune dans une extension algébriquement close de A  .

Remarque. La proposition 0.2 nous permet de traiter le cas des polynômes en plusieurs variables, i.e. si f∈𝕂[X1, ...,Xn]  , on utilise f ∈ A[Xn]  avec A = 𝕂[X1, ...,Xn -1]  qui est intègre et factoriel.

On souhaite éliminer la variable Xr  entre deux polynômes f,g ∈ 𝕂[X1,...,Xr]  , notés de la façon suivante :

   ∑
f = ∑ mi=0fiXir      fi ∈ 𝕂[X1,...,Xr-1]    fm ⁄= 0
g =  ni=0giXir        gi ∈ 𝕂[X1,...,Xr-1]    gn ⁄= 0

Définition 0.2. Idéal délimination Pour f ∈  𝕂[X1,...,Xr]   , on note f (α1,...,αr)   le polynôme évalué en              --
(α1,...,αr) ∈ 𝕂r   . On pose h =  ResXr(f,g) ∈ 𝕂[X1, ...,Xr- 1]   . Soit I =  〈f,g〉 . On note Ir=I∩𝕂[X1, ...,Xr-1]  . C’est l’idéal d’élimination. En quelque sorte, l’idéal Ir  contient toutes les façons d’éliminer la variable Xr  des équations {f = 0, g = 0} .

Proposition 0.3. Elimination On a h ∈ Ir  . Donc si             --
(α1,...,αr) ∈ 𝕂r  est un zéro commun de f  et g
, alors h(α1,...,αr-1) = 0  . Au final, le calcul de h  conduit à une équation en r- 1  variables.

Théorème 0.4. Extension On suppose connu (α1,...,αr-1) ∈ 𝕂r-1   tels que h(α1,...,αr-1) = 0  . Alors, si on n’est pas dans l’un des cas suivants :

  • ∀i ∈ {0,...,m}, fi(α1,...,αr-1) = 0
  • ∀i ∈ {0,...,n}, gi(α1,...,αr-1) = 0
  • fm(α1,...,αr-1) = gn(α1,...,αr-1) = 0

il existe αr ∈ 𝕂  tel que (α1,...,αr)  soit un zéro commun à f  et g  .

Référence : [?, p.147][?, p.25][?, p.162]
Utilisation : (***,0) (**,3) (*,0)
Mots clefs : déterminant, polynômes, équations polynomiales, élimination.

LECONS CONCERNEES
232 - Méthodes d'approximation des solutions d'une équation F(X)=0. Exemples

Auteur du document : Gabriel Peyré  
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