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Méthodes de Gauss et polynômes orthogonaux



Méthodes de Gauss et polynômes orthogonaux


Définition 0.1. Espace fonctionnel Soit w :]α,β[→  ℝ*+  une fonction continue telle que ∀n, ∫ β∣x∣nw(x)dx < ∞
    α . On considère l’espace vectoriel E  des fonctions de module carré intégrable pour le poids w(x)  , muni du produit scalaire :

       ∫
〈f,g〉 =  βf(x)g(x)w(x)dx
        α

Théorème 0.1. Polynômes orthogonaux Il existe une unique suite {pn}n∈ℕ   de polynômes unitaires deux à deux orthogonaux pour 〈.,.〉 . De plus, ces polynômes sont donnés par la relation de récurrence :

pn(x) = (x - λn)pn-1(x)- μnpn- 2(x) avec :
     〈xpn-1,pn-1〉
λn = ∥p∥pn-∥12∥2    et :
μn = ∥pnn--12∥2

Enfin, pn  a n  racines simples distinctes dans ]a,b[  .

Théorème 0.2. Méthode de Gauss On cherche une formule approchée de la forme :

∫                l
  βf (x)w(x)dx ≃ ∑  λ f(x) pour x ∈ [α,β]
 α              j=0 j   j      j
Il existe un choix et un seul des points xj  et des poids λj  de sorte que la méthode soit d’ordre N = 2l+ 1  . Les points xj  sont alors les racines du (l+ 1)  -ième polynôme orthogonal pour le poids w  sur ]α,β[
.

Remarque. Les méthodes sont très puissantes à la fois parce qu’elles ont un ordre élevé, mais aussi parcequ’elle intègrent directement un poids w  qui peut par exemple présenter des singularités sur le bord de l’intervalle. La seule restriction est de devoir calculer au préalable les racines des polynômes orthogonaux correspondants.

Remarque. Explication de la démarche Pour comprendre pourquoi est-ce que l’on est amené à choisir les zéros des polynômes orthogonaux comme points d’interpolation, il faut étudier de plus près la formule d’erreur correspondant à la méthode issue du choix de N + 1   points d’interpolation : Si on note PN   le polynôme d’interpolation de f  aux points x0 < ... < xN  , alors, on peut utiliser les différences divisées définies de la manière suivante :

f[xi] = f (xi)
             f[x1,...,xk]--f[x0,...,xk-1]
f[x0,...,xk] =       xk-x0

on a alors une expression du polynôme d’interpolation de Lagrange :

pn(x) = ∑nk=1 f[x0,...,xk]πk(x)  avec :
πk(x) = (x - x0)(x - x1)...(x- xk)

et surtout un résultat fondamental :

f(x) - PN(x) = f[x0,...,xN ,x]πN (x)
(1)

En effet, avec le théorème de Rolle, ceci permet d’affirmer que :

                        f(N+1)(ξ )
∃ξx ∈]α,β[, f(x)- Pn(x) =-(N+1)!xπN (x), d’où
E(f) = ∫αβ(f(x)- PN (x))dx = (N+11)! ∫βα f(N+1)(ξx)πN(x)dx

Tout ces calculs permettent, entre autre, de démontrer les vitesses de convergence pour les méthodes de Newton-Cotes. Cependant, ils permettent aussi et surtout d’élaborer des méthodes plus performantes par la remarque suivante : si le polynôme πN  est tel que ∫ βπN (t)dt = 0
 α  , alors, si on introduit un nouveau point de subdivision xN+1  , on peut exploiter la formule des différences divisées :

f[x0,...,xN,x] = f[x0,...,xN,xN+1] + (x - xN+1)f[x0,...,xN,xN+1, x]
(2)

ce qui permet d’augmenter l’ordre de la méthode, grace à la formule :

E(f )  = ∫βf[x0,...,xN ,x]πN(x)dx
       = α∫βf[x ,...,x  ,x    ,x]π    (x)dx
         α    0     N  N+1    N+1

Maintenant, il suffit de remarquer que si l’on a pu choisir le point xN+1  tel que ∫ βπN+1(t)dt = 0
 α  , alors on peut recommencer ! Et jusqu’ou peut on aller ? Et bien le choix optimal est celui tel que le polynôme πN  qui correspond aux choix des N + 1  premiers points (ceux qui détermine la méthode) soit orthogonaux aux polynômes "ajoutés", ie les ∏N+k (x - x)
i=N+1      i . Ceci signifie donc que notre polynôme π
  N  doit être orthogonaux aux plus possible d’espaces E
 N+k
des polynômes de degré inférieur à n + k  . Donc le choix optimal est celui des polynômes orthogonaux de Legendre, qui sont orthogonaux à tous les polynômes de degré inférieur à N  . Bien sûr ce raisonnement marche aussi avec des intégrales comportant un poids w  , ce qui conduit aux polynômes orthogonaux pour le poids utilisé.

Référence : [?, p.50 et 73]
Utilisation : (***,0) (**,1) (*,0)
Mots clefs : polynômes, intégration numérique, vitesse de convergence, algorithmes, singularités, méthodes de quadratures.

LECONS CONCERNEES
211 - Utilisation de la dimension finie en analyse
224 - Comportement asymptotique des suites numériques. Rapidité de convergence. Exemples
233 - Intégration des fonctions d'une variable réelle. Suites de fonctions intégrables
236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles
237 - Problèmes de convergence et de divergence d'une intégrale sur un intervalle de R
238 - Méthodes de calcul approché d'intégrale
248 - Approximation des fonctions numériques par des fonctions polynomiales ou polynomiales par morceaux. Exemples

Auteur du document : Gabriel Peyré  
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